Лекции о теплотехнике

Содержание

IS-диаграмма

Водоснабжение, водоподготовка и очистка сточных вод

Теплопотери

Для просмотра сайта используйте Internet Explorer


ЧАСТЬ 2. ТЕПЛОМАССООБМЕН


Тема 9. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ


9.1.Основные понятия и определения

Теория теплопередачи, или теплообмена, представляет собой учение о процессах распространения теплоты в пространстве с неоднородным полем температур.

Существуют три основных вида теплообмена: теплопроводность, конвекция и тепловое излучение.

Теплопроводность — это молекулярный перенос теплоты между непосредственно соприкасающимися телами или частицами одного тела с различной температурой, при котором происходит обмен энергией движения структурных частиц (молекул, атомов, свободных электронов).

Конвекция осуществляется путем перемещения в пространстве не­равномерно нагретых объемов среды. При этом перенос теплоты не­разрывно связан с переносом самой среды.

Тепловое излучение характеризуется переносом энергии от одного тела к другому электромагнитными волнами.

Часто все способы переноса теплоты осуществляются совместно. Например, конвекция всегда сопровождается теплопроводностью, так как при этом неизбежно соприкосновение частиц, имеющих различные температуры.

Совместный процесс переноса теплоты конвекцией и теплопроводностью называется конвективным теплообменом. Частным случаем конвективного теплообмена является теплоотдача — конвективный теплообмен между твердой стенкой и движущейся средой. Теплоотдача может сопровождаться тепловым излучением. В этом случае перенос теплоты осуществляется одновременно теплопроводностью, конвекцией и тепловым излучением.

Многие процессы переноса теплоты сопровождаются переносом вещества — массообменном, который проявляется в установлении равновесной концентрации вещества.

Совместное протекание процессов теплообмена и массообменна называется тепломассообменном.

Теплопроводность определяется тепловым движением микрочастиц тела. В чистом виде явление теплопроводности наблюдается в твердых телах, неподвижных газах и жидкостях при условии невозможности возникновения в них конвективных токов.

Передача теплоты теплопроводностью связана с наличием разности температур тела. Совокупность значений температур всех точек тела в данный момент времени называется температурным полем. В общем случае уравнение температурного поля имеет вид:

,

(9.1)


где t — температура тела; х, у, z — координаты точки; τ — время. Такое температурное поле называется нестационарным и отвечает неустановившемуся режиму теплопроводности. Если температура тела не изменяется с течением времени, то температурное поле называется стационарным. Тогда
,   .

(9.2)


Температура может быть функцией одной, двух и трех координат, соответственно температурное поле будет одно-, дву- и трехмерным. Наиболее простой вид имеет уравнение одномерного стационарного температурного поля:

;   ;   .


Если соединить все точки тела с одинаковой температурой, то получим поверхность равных температур, называемую изотермической. Так как в определенной точке тела в данный момент времени может быть только одна температура, изотермические поверхности не пересекаются; все они либо замыкаются на себя, либо заканчиваются на границе тела. Пересечение изотермных поверхностей плоскостью дает на ней семейство изотерм. Интенсивность изменения температуры в каком-либо направлении характеризуется производной , принимающей наибольшее значение в направлении нормали к изотермической поверхности

.

(9.3)


Вектор называется температурным градиентом и является мерой интенсивности изменения температуры в направлении по нормали к изотермной поверхности. Направлен он в сторону возрастания температуры.


9.2.Закон Фурье

Согласно гипотезе Фурье, количество теплоты d2Qτ, проходящее через элемент изотермической поверхности dF за промежуток времени , пропорционально температурному градиенту :

.

(9.4)


Здесь множитель λ называется коэффициентом теплопроводности. Знак минус указывает на то, что теплота передается в направлении уменьшения температуры. Количество теплоты, прошедшее в единицу времени через единицу изотермической поверхности, называется плотностью теплового потока:
.

(9.5)


Проекции вектора q на координатные оси соответственно:

;   ;   .


Уравнения (9.4) и (9.5) являются математическим выражением основного закона теплопроводности — закона Фурье.

Количество теплоты, проходящее в единицу времени через изотермическую поверхность F, называется тепловым потоком:

.

(9.6)


Полное количество теплоты, прошедшее через эту поверхность за время τ, определится из уравнения

.

(9.7)



9.3.Коэффициент теплопроводности

Коэффициент теплопроводности является физическим параметром вещества, характеризующим его способность проводить теплоту. Коэффициент теплопроводности определяется из уравнения (9.4):

.

(9.8)


Численно коэффициент теплопроводности равен количеству теплоты, проходящему в единицу времени через единицу изотермической поверхности при условии gradt=1. Его размерность Вт/(м·К). Значения коэффициента теплопроводности для различных веществ определяются из справочных таблиц, построенных на основании экспериментальных данных. Для большинства материалов зависимость коэффициента теплопроводности от температуры приближенно можно выразить в виде линейной функции

.

(9.9)


где λ0 — значение коэффициента теплопроводности при температуре t0=0 0С; b — постоянная, определяемая опытным путем.

Наихудшими проводниками теплоты являются газы. Коэффициент теплопроводности газов возрастает с увеличением температуры и составляет 0,006÷0,6 Вт/(м·К). Следует отметить, что верхнее значение относится к гелию и водороду, коэффициент теплопроводности которых в 5—10 раз больше, чем у других газов. Коэффициент теплопроводности воздуха при 0 0С равен 0,0244 Вт/(м·К).

Для жидкости λ=0,07÷0,7 Вт/(м·К) и, как правило, уменьшается с увеличением температуры. Коэффициент теплопроводности воды с увеличением температуры возрастает до максимального значения 0,7 Вт/(м·К) при t=120 0С и дальше уменьшается.

Наилучшими проводниками теплоты являются металлы, у которых λ=20÷418 Вт/(м·К). Самый теплопроводный металл — серебро. Для большинства металлов коэффициент теплопроводности убывает с возрастанием температуры, а также при наличии разного рода примесей. Поэтому коэффициент теплопроводности легированных сталей значительно ниже, чем чистого железа.

Материалы с λ<0,25 Вт/(м·К), обычно применяемые для тепловой изоляции, называют теплоизоляционными. Большинство теплоизоляционных и строительных неметаллических материалов имеют пористое строение, что не позволяет рассматривать их как сплошную среду.


9.4.Дифференциальное уравнение теплопроводности в плоской стенке при граничных условиях первого рода

9.4.1.Дифференциальное уравнение теплопроводности

Решение задач теплопроводности связано с определением поля температур и тепловых потоков. Для установления зависимости между величинами, характеризующими явление теплопроводности, воспользуемся методом математической физики, который рассматривает протекание физических процессов в произвольно выделенном из всего рассматриваемого пространства элементарном объеме и в течение бесконечно малого промежутка времени. Это позволяет пренебречь изменением некоторых величин и существенно упростить выкладки.

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности считаем, что тело однородно и изотропно (то есть физические свойства тела не зависят от выбранного в нём направления), физические параметры λ, с(теплоемкость), и ρ (плотность) постоянны, внутренние источники теплоты равномерно распределены в теле. Под внутренними источниками теплоты понимаются тепловыделения, например, в тепловыделяющих элементах атомных реакторов, или при прохождении тока в электрических проводниках. Внутренние источники теплоты характеризуются величиной qv — количеством теплоты, которое выделяется в единице объема в единицу времени.

В основу вывода положен закон сохранения энергии, согласно которому вся теплота, выделенная внутренними источниками dQвн и внесенная извне в элементарный объем путем теплопроводности dQm за время , идет на изменение внутренней энергии вещества, содержащегося в этом объеме:

.

(9.10)


Выделим в теле элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz (рис. 9.1). Количество теплоты, которое проходит путем теплопроводности внутрь выделенного объема в направлении оси ОX через элементарную площадку dy·dz за время :

Рис. 9.1. К выводу дифференциального уравнения теплопроводности
.




На противоположной грани параллелепипеда температура получит приращение и будет составлять .

Количество тепла, отведенного через эту грань:

.

Разница количества теплоты, подведенного к элементарному параллелепипеду и отведенного от него, представляет собой теплоту, внесенную путем теплопроводности в направлении оси ОX:

.

Аналогично:
.

Полное количество теплоты внесено в элементарный параллелепипед путем теплопроводности


.

Здесь произведение dx·dy·dz представляет собой объем элементарного параллелепипеда dv. Количество теплоты, которое выделилось в элементарном объеме за счет внутренних источников:

.

Приращение внутренней энергии можно выразить через массу параллелепипеда ρ·dv, теплоемкость с и приращение температуры :

.

Подставляя выражения для dQm, dQвн и dU в уравнение (9.10), после соответствующих сокращений получаем:

.

(9.11)


Сумма вторых частных производных любой функции в математическом анализе носит название оператора Лапласа и обозначается следующим образом:

.

Величину называют коэффициентом температуропроводности и обозначают буквой a. В указанных обозначениях уравнение (9.11) примет вид:

.

(9.12)


Это уравнение называется дифференциальным уравнением теплопроводности или уравнением Фурье и лежит в основе математической теории теплопроводности. Коэффициент температуропроводности a является физическим параметром вещества. Из уравнения (9.12) следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине a.


9.4.2.Краевые условия

Дифференциальное уравнение (9.12) описывает в самом общем виде все без исключения задачи теплопроводности. Для решения конкретной задачи необходимо к дифференциальному уравнению присоединить математическое описание частных ее особенностей. Эти дополнительные данные, которые характеризуют конкретное единичное явление, называются краевыми условиями, или условиями однозначности.

Существуют различные условия однозначности: геометрические — характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает про­цесс теплопроводности; физические — характеризующие физические свойства тела; временные — характеризующие распределение температуры тела в начальный момент времени; граничные — характеризующие взаимодействие тела с окружающей средой. Граничные условия в свою очередь бывают трех родов:

1) первого рода, задается распределение температуры на поверхности тела в функции времени;

2) второго рода, задается плотность теплового потока для всей поверхности тела в функции времени;

3) третьего рода, задаются температура окружающей среды tж и закон теплоотдачи между поверхностью тела и окружающей средой — закон Ньютона—Рихмана:

,

(9.13)


где tc — температура поверхности тела; α — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/(м2·К). Коэф­фициент теплоотдачи численно равен количеству теплоты, отдаваемому или воспринимаемому единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой в один градус. Этот коэффициент учитывает все особенности явлении теплообмена, происходящие между поверхностью тела и окружающей средой. Плотность теплового потока, передаваемого от поверхности тела в окружающую среду,
.

(9.14)


Согласно закону сохранения энергии, эта теплота равна теплоте, подводимой к поверхности изнутри тела путем теплопроводности:

.


Переписав последнее уравнение в виде:

,

(9.15)


получаем математическую формулировку граничных условий третьего рода. В результате решения дифференциального уравнения теплопроводности совместно с условиями однозначности можно найти температурное поле, а на основании закона Фурье — соответствующие тепловые потоки.

9.4.3.Теплопроводность через плоскую стенку при граничных условиях первого рода

Рис. 9.2. Однородная плоская стенка

Рассмотрим однородную плоскую стенку толщиной δ (рис. 9.2). На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры tс1 и tс2. Коэффициент теплопроводности стенки постоянен и равен λ. При стационарном режиме () и отсутствии внутренних источников теплоты (qv=0) дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид:

.

(9.16)







При заданных условиях температура будет изменяться только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки (ось Оx). В этом случае
,







и дифференциальное уравнение теплопроводности перепишется в виде:
.

(9.17)


Граничные условия первого рода запишутся следующим образом: при x=0 t=tc1; при x=δ t=tc2. Интегрируя уравнение (9.17), находим

.


После второго интегрирования получаем

.

(9.18)


Постоянные С1 и С2 определим из граничных условий: при x=0 t=tc1, С2=tc1; при x=δ t=tc21·δ+tc1, отсюда . Подставляя значения С1 и С2 в уравнение (9.18), получим уравнение распределения температуры по толщине стенки:

.

(9.19)


Для определения плотности теплового потока, проходящего через стенку в направлении оси Оx, воспользуемся законом Фурье, согласно которому .

Учитывая, что , получим

.

(9.20)


Общее количество теплоты, которое передается через поверхность стенки F за время τ,

.

(9.21)


Отношение называют тепловой проводимостью стенки, обратную ей величину - термическим сопротивлением теплопроводности. Поскольку величина λ зависит от температуры, в уравнения (9.20), (9.21) необходимо подставить коэффициент теплопроводности λс, взятый при средней температуре стенки.





Отправить e-mail автору сайта на ice-axe@mail.ru



Содержание

IS-диаграмма

Водоснабжение, водоподготовка и очистка сточных вод



Яндекс.Метрика
Сайт создан в системе uCoz